Gruppentheoretische Begründung Metrischer Ebenen
Ausarbeitung der von Helmut Karzel im WS 1962/63 an der Universität Hamburg gehaltenen Vorlesung mit Ergänzungen aus dem Proseminar des SS 1963. Unter der Leitung von Prof. Karzel ausgearbeitet von Günter Graumann
Günter Graumann und Helmut Karzel
Diese Publikation zitieren
Günter Graumann, Helmut Karzel, Gruppentheoretische Begründung Metrischer Ebenen (2017), WTM-Verlag, Münster, ISBN: 9783959870580
12
Accesses
Accesses
Beschreibung / Abstract
In der elementaren euklidischen Geometrie spielen die kongruenten Abbildungen eine wichtige Rolle. Bei ihrer Hintereinanderausführung ist dabei der Dreispiegelungssatz die wichtigste Aussage. Innerhalb der synthetischen Geometrie hat sich gezeigt, dass der Dreispiegelungssatz bis auf eine Reichhaltigkeitsforderung als Axiom genommen alleine ausreicht, um alle ebenen metrischen Geometrien über einem kommutativen Körper zu begründen. Obgleich diese Erkenntnis schon vor fünfzig Jahre gewonnen wurde, ist sie heute immer noch hochaktuell.
Das Buch wendet sich an interessierte Mathematiker und Mathematikerinnen sowie Studierende der Mathematik. Insbesondere ist es geeignet für Lehrende und Studierende des Lehramts an Gymnasien als mathematischer Hintergrund der Abbildungsgeometrie wie sie im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe I und in der Vektorgeometrie der Sekundarstufe II vorkommt.
Das Buch wendet sich an interessierte Mathematiker und Mathematikerinnen sowie Studierende der Mathematik. Insbesondere ist es geeignet für Lehrende und Studierende des Lehramts an Gymnasien als mathematischer Hintergrund der Abbildungsgeometrie wie sie im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe I und in der Vektorgeometrie der Sekundarstufe II vorkommt.
Inhaltsverzeichnis
- BEGINN
- Vorwort
- Inhaltsübersicht
- 1 Gruppen mit involutorischem Erzeugendensystem
- 1.1 Grundlegende Aussagen für Gruppen mit involutorischem Erzeugen-densystem
- 1.2 Abbildungen in Gruppen mit involutorischem Erzeugendensystem
- 2 Die Gruppenebene (G,E)
- 2.1 Grundlegende Aussagen zur Gruppenebene
- 2.2 Abbildungen in der Gruppenebene
- 2.3 Lotkerngeometrien
- 2.4 Reguläre Geometrien
- 2.5 Übersicht über die verschiedene Typen von Geometrien
- 3 Der Gruppenraum G(E²,E³)
- 4 Konstruktion des Koordinatenkörpers K(G,E)
- 5 Einbettung der Gruppenebene in eine projektive Ebene
- 5.1 Einführung homogener Koordinaten für die Punkte von < ε >:
- 5.2 Einführung von homogenen Koordinaten für die Geraden und Ebenen des Bündels durch den festen Punkt (ω)
- 6 Konstruktion einer quadratischen Form
- 6.1 Konstruktion einer quadratischen Form für Char K(G, E) ≠2
- 6.2 Konstruktion einer quadratischen Form für Char K(G, E) = 2
- 6.3 Hauptsatz der metrischen Ebene (G, E), die in der projektiven Ebenevon V3(K) eingebettet ist