Basiswissen Arithmetik und Zahlentheorie
Martin Stein
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Martin Stein, Basiswissen Arithmetik und Zahlentheorie (2014), WTM-Verlag, Münster, ISBN: 9783942197793
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Beschreibung / Abstract
Dieses Buch wendet sich an Studierende der Lehrämter Grundschule und Haupt-Realschule im Bachelorstudium.
Es behandelt die folgenden Gebiete:
†¢ Teilbarkeit und Primzahlen
†¢ Diophantische Gleichun¬gen
†¢ Teilbarkeitsregeln mit Rechenproben
†¢ Stellenwertsysteme.
†¢ Kongruenzen und Restklassen mit Anwendungen
Aufbauend auf die Eigenschaften der Restklassen kann der Gruppenbegriff eingeführt werden.
Logische Grundlagen werden so weit behandelt, wie dies für die Beherrschung exakter Argumentationen und die Fähigkeit zum korrekten Formulieren mathematischer Aussagen erforderlich ist. Von der Mengenlehre werden die grundlegenden Begriffe sowie Sprech- und Schreibweisen behandelt, das Gleiche gilt für den Bereich der Funktionen und Relationen. In vergleichbarer Weise erfolgt die Behandlung direkter und indirekter Beweise und der vollständigen Induktion, wobei viele Beispiele für das Verständnis hilfreich sind.
Das Buch wurde viele Jahre in den Vorlesungen des Verfassers erprobt. Aus dieser langjährigen Arbeit heraus konnte besonders intensiv an der Verständlichkeit des Manuskripts gearbeitet werden, was sich unter anderem in sehr konkreten beispielgebundenen Beweis-führungen niedergeschlagen hat.
Es behandelt die folgenden Gebiete:
†¢ Teilbarkeit und Primzahlen
†¢ Diophantische Gleichun¬gen
†¢ Teilbarkeitsregeln mit Rechenproben
†¢ Stellenwertsysteme.
†¢ Kongruenzen und Restklassen mit Anwendungen
Aufbauend auf die Eigenschaften der Restklassen kann der Gruppenbegriff eingeführt werden.
Logische Grundlagen werden so weit behandelt, wie dies für die Beherrschung exakter Argumentationen und die Fähigkeit zum korrekten Formulieren mathematischer Aussagen erforderlich ist. Von der Mengenlehre werden die grundlegenden Begriffe sowie Sprech- und Schreibweisen behandelt, das Gleiche gilt für den Bereich der Funktionen und Relationen. In vergleichbarer Weise erfolgt die Behandlung direkter und indirekter Beweise und der vollständigen Induktion, wobei viele Beispiele für das Verständnis hilfreich sind.
Das Buch wurde viele Jahre in den Vorlesungen des Verfassers erprobt. Aus dieser langjährigen Arbeit heraus konnte besonders intensiv an der Verständlichkeit des Manuskripts gearbeitet werden, was sich unter anderem in sehr konkreten beispielgebundenen Beweis-führungen niedergeschlagen hat.
Inhaltsverzeichnis
- BEGINN
- Vorwort
- Inhaltsverzeichnis
- Bereitstellung der logischen Grundlagen
- 1 Aussagenlogik
- 1.1 Aussagenlogische Junktoren
- 1.2 Gesetze der Aussagenlogik
- 1.3 Schlussregeln der Aussagenlogik
- 2 Mengenlehre
- 3 Prädikatenlogik, Relationen und Funktionen
- 3.1 Prädikatenlogik
- 3.2 Relationen
- 3.3 Funktionen
- 4 Der Beweis durch vollständige Induktion
- 5 Direkte und indirekte Beweise
- 5.1 Direkte Beweise
- 5.2 Indirekte Beweise
- 6 Beweise der eindeutigen Existenz
- Kapitel I Teilbarkeitsrelation
- 1 Definitionen
- 2 Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation
- 3 Teilbarkeitsrelation als nichtlineare Ordnungsrelation
- 4 Teilermengen
- 5 Hasse-Diagramme
- 6 Teilbarkeitsregeln
- Kapitel II Primzahlen und Primfaktorzerlegung
- 1 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
- 2 Teilbarkeitskriterium/ Bestimmung der Teiler einer Zahl a/ Hasse-Diagramme
- 3 Primzahlkriterium/ Primzahlverteilung/ Sieb des Eratosthenes
- 4 Teilbarkeitsrelation und Primzahlen in anderen Zahlbereichen
- III ggT und kgV
- 1 Definitionen
- 2 Darstellung des ggT und kgV über Primfaktorzerlegung/ Zusammenhang von ggT und kgV
- 3 Hasse-Diagramme
- 4 Der Euklidische Algorithmus
- 5 Menge der Vielfachen vom ggT(a,b) und der Linearkombinationen von a und b/ Diophantische Gleichungen
- IV Kongruenzen und Restklassen
- 1 Der Begriff der Kongruenz
- 2 Eigenschaften der Kongruenzen
- 3 Die Kongruenzrelation als Äquivalenzrelation
- 4 Restklassen
- 5 Rechnen in der Menge der Restklassen
- 6 Anwendungen der Kongruenz- und Restklassenrechnung
- V Stellenwertsysteme und Zahldarstellung
- 1 Die römische Zahlschrift
- 2 Stellenwertsysteme
- 3 Einführung des Zwölfersystems
- 4 Zahldarstellung
- 5 Übertragung der Teilbarkeitsregeln auf das Zwölfersystem
- Literaturhinweise