Die natürlichen Grundlagen der Mathematik
Helmut Bender
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Helmut Bender, Die natürlichen Grundlagen der Mathematik (2020), Logos Verlag, Berlin, ISBN: 9783832592905
196
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Beschreibung / Abstract
Dieses Buch ist als eine Neubegründung der Mathematik zu verstehen.
Mathematische Grundkenntnisse genügen zum Verständnis. In logischer Hinsicht wird nur der vertraute Umgang mit den Worten und, oder, wenn ,/ ,dann vorausgesetzt. Logische Fachkenntnisse sind somit nicht nötig, eher hinderlich.
Die Grundbegriffe Objekt, Bereich, Abbildung sind rein sprachlicher Natur: Ein Bereich erlaubt, von seinen Elementen (Objekte) zu reden, eine Abbildung alphavon dem "Bild" x alpha(ein Objekt) eines Objektes x. Und selbstverständlich sind Bereiche wie Abbildungen auch Objekte.
Einhergehend mit Negation wird Existenz eingeführt, Gleichheit dann im Zusammenhang mit dem Begriff einer Klasse (Bereich plus Äquivalenzrelation), und schließlich wird die Klasse aller Mengen vorausgesetzt.
Das Standard-Vorlesungsthema Aufbau des Zahlensystems wird vorweg auf althergebrachter Grundlage behandelt (Mengen und Abbildungen im Sinne Dedekinds), in dem vertrauten Rahmen der real existierenden Mathematik also, aber nicht auf altvertraute Weise.
Der entsprechende, um einiges angereicherte Teil I des Buches ist daher von unabhängigem Interesse, wie auch Teil II mit historischen und mathematikphilosophischen Erörterungen.
Mathematische Grundkenntnisse genügen zum Verständnis. In logischer Hinsicht wird nur der vertraute Umgang mit den Worten und, oder, wenn ,/ ,dann vorausgesetzt. Logische Fachkenntnisse sind somit nicht nötig, eher hinderlich.
Die Grundbegriffe Objekt, Bereich, Abbildung sind rein sprachlicher Natur: Ein Bereich erlaubt, von seinen Elementen (Objekte) zu reden, eine Abbildung alphavon dem "Bild" x alpha(ein Objekt) eines Objektes x. Und selbstverständlich sind Bereiche wie Abbildungen auch Objekte.
Einhergehend mit Negation wird Existenz eingeführt, Gleichheit dann im Zusammenhang mit dem Begriff einer Klasse (Bereich plus Äquivalenzrelation), und schließlich wird die Klasse aller Mengen vorausgesetzt.
Das Standard-Vorlesungsthema Aufbau des Zahlensystems wird vorweg auf althergebrachter Grundlage behandelt (Mengen und Abbildungen im Sinne Dedekinds), in dem vertrauten Rahmen der real existierenden Mathematik also, aber nicht auf altvertraute Weise.
Der entsprechende, um einiges angereicherte Teil I des Buches ist daher von unabhängigem Interesse, wie auch Teil II mit historischen und mathematikphilosophischen Erörterungen.
Inhaltsverzeichnis
- BEGINN
- I Aufbau des Zahlensystems
- 1. Vervollst¨andigung archimedisch und dicht geordneter Gruppen
- 2. Vervollst¨andigung archimedisch geordneter K¨orper
- 3. Quotientenk¨orper archimedisch geordneter Ringe
- 4. Geordnete Mengen, Gruppen und Ringe vom Typ ZZ
- 5. Wohlgeordnete Mengen und der f-Kettensatz
- 6. Induktion und Kardinalit¨at
- 7. Endliche und unendliche Mengen
- 8. Endliche Summen und Produkte
- II Dedekind und die Grundlagen
- 1. Dedekinds Brief an Dr. Hans Keferstein vom 27. Februar 1890
- 2. Dedekinds Zahlenschrift – Eckstein und Stein des Anstoßes
- 3. Was ist Gleichheit?
- 4. Was ist eine Menge?
- 5. Existenz – Negation – Eigenschaften
- 6. Was ist eine Aussage?
- III Bereiche – Klassen – Mengen
- 1. Reine Logik und Negation
- 2. Bereiche und Abbildungen
- 3. Existenz
- 4. Klassen und Gleichheit
- 5. Existenz von Teilklassen und Abbildungen
- 6. Mengen
- IV Mathematik mit starker Existenz
- 1. Starke Existenz
- 2. Mathematische Strukturen
- 3. Kardinal- und Ordinalzahlen
- V Mathematik ohne starke Existenz
- 1. Existenz multivariabler Abbildungen
- 2. Mathematische Strukturen
- 3. R¨uckschau auf Teil I
- 4. Kardinal- und Ordinalzahlen