Parameteridentifizierbarkeit in einem nichtlinearen Differentialgleichungssystem aus der Kontinuumsmechanik anhand von Randmessungen
Arne Wöstehoff
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Arne Wöstehoff, Parameteridentifizierbarkeit in einem nichtlinearen Differentialgleichungssystem aus der Kontinuumsmechanik anhand von Randmessungen (2013), Logos Verlag, Berlin, ISBN: 9783832591618
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Description / Abstract
Aufgrund vielfältiger Anwendungsmöglichkeiten wächst die Nachfrage nach zerstörungsfreien Prüfmethoden für hyperelastische Werkstoffe stark.
Ein vielversprechendes Verfahren für den In-situ-Einsatz ist die Applikation eines Netzwerks von Piezosensoren und -aktuatoren.
In dieser Arbeit wird als einfaches Modell eines Piezosensors ein Sensor angenommen, der gemittelte, gewichtete mechanische Spannungen an der Oberfläche misst.
Ausgehend von diesem Szenario kann die kritische Frage, ob den Messungen solcher Sensoren eindeutig und stabil mechanische Eigenschaften des Körpers über die Identifikation der Verzerrungsenergiedichte zugeordnet werden können,
dahingehend positiv beantwortet werden, als dass tatsächlich bei zulässigen Anfangszuständen und bei Darstellbarkeit der Verzerrungsenergiedichte als konische Kombination,
die Abbildung des Quadrupels aus der Messung, den beiden Anfangswerten und der Massenkraftdichte auf die Verzerrungsenergiedichte stetig ist.
Es wird gezeigt, dass kleine Fehler in den Messdaten oder leichte Abweichungen in den weiteren Ausgangsdaten des angesprochenen Quadrupels nur zu kleinen Änderungen der dadurch festgelegten mechanischen Eigenschaften führen.
Dieses Charakteristikum ist eine unabdingbare Basisanforderung an jedes zuverlässig arbeitende System zur Schadenslokalisierung.
Diese Aussagen werden im Wesentlichen in zwei Schritten erreicht:
Zunächst erfolgt eine intensive Untersuchung des parameterabhängigen Vorwärtsproblems, welches sich als Anfangsrandwertproblem eines nichtlinearen partiellen Differentialgleichungssystems darstellt.
Anschließend wird das inverse Problem der Parameteridentifizierung formuliert und analysiert.
Ein vielversprechendes Verfahren für den In-situ-Einsatz ist die Applikation eines Netzwerks von Piezosensoren und -aktuatoren.
In dieser Arbeit wird als einfaches Modell eines Piezosensors ein Sensor angenommen, der gemittelte, gewichtete mechanische Spannungen an der Oberfläche misst.
Ausgehend von diesem Szenario kann die kritische Frage, ob den Messungen solcher Sensoren eindeutig und stabil mechanische Eigenschaften des Körpers über die Identifikation der Verzerrungsenergiedichte zugeordnet werden können,
dahingehend positiv beantwortet werden, als dass tatsächlich bei zulässigen Anfangszuständen und bei Darstellbarkeit der Verzerrungsenergiedichte als konische Kombination,
die Abbildung des Quadrupels aus der Messung, den beiden Anfangswerten und der Massenkraftdichte auf die Verzerrungsenergiedichte stetig ist.
Es wird gezeigt, dass kleine Fehler in den Messdaten oder leichte Abweichungen in den weiteren Ausgangsdaten des angesprochenen Quadrupels nur zu kleinen Änderungen der dadurch festgelegten mechanischen Eigenschaften führen.
Dieses Charakteristikum ist eine unabdingbare Basisanforderung an jedes zuverlässig arbeitende System zur Schadenslokalisierung.
Diese Aussagen werden im Wesentlichen in zwei Schritten erreicht:
Zunächst erfolgt eine intensive Untersuchung des parameterabhängigen Vorwärtsproblems, welches sich als Anfangsrandwertproblem eines nichtlinearen partiellen Differentialgleichungssystems darstellt.
Anschließend wird das inverse Problem der Parameteridentifizierung formuliert und analysiert.
Table of content
- BEGINN
- 1 Einführung
- 1.1 Zielsetzung
- 1.2 Gliederung
- 2 Kontinuumsmechanik und Modellbildung
- 2.1 Grundbegriffe
- 2.2 Erhaltungssätze
- 2.3 Spannungsprinzip und Bewegungsgleichung
- 2.4 Elastisches Material
- 2.5 Elastizitätstensor und linear elastisches Material
- 2.6 Modell
- 3 Eindeutige Lösbarkeit und Stabilität des Anfangsrandwertproblems
- 3.1 Lebesgue- und Sobolevräume
- 3.2 Satz über eindeutige Lösbarkeit und Stabilität
- 3.3 Gronwallsches Lemma und Cordessche Bedingung
- 3.4 Wichtige Schritte für den Beweis von Satz 3.7
- 3.5 Beweis von Satz 3.7
- 4 Eindeutige Lösbarkeit und Stabilität des Identifizierungsproblems
- 4.1 Das Identifizierungsproblem mit Darstellung der nichtlinearen Verzerrungsenergiedichte als konische Kombination
- 4.2 Darstellbarkeit der Verzerrungsenergiedichte als konische Kombination im linear hyperelastischen Modell
- 4.3 Sensoranzahl für eine homogene, isotrope Elastizitätsmatrix
- 5 Zusammenfassung und Ausblick
- Anhang
- A.1 Geometrie
- A.2 Lineare Algebra und Matrixanalysis
- A.3 Differentialrechnung mit Rechenregeln
- B.1 Beweis von Lemma 3.25
- Literatur