Laplace-, Fourier- und z-Transformation
Otto Föllinger
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Otto Föllinger, Laplace-, Fourier- und z-Transformation (2020), VDE Verlag, Berlin, ISBN: 9783800753727
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Beschreibung / Abstract
In anwendungsnaher Weise wird der Leser mit der Laplace-, Fourier- und z-Transformation vertraut gemacht. Der eingeschlagene Weg ist anders als sonst üblich: Die benötigten Rechenregeln werden nicht als Rezept vorangestellt, sondern sie werden ausgehend von konkreten Problemstellungen hergeleitet. Die notwendigen mathematischen Operationen werden dann anhand realer Gegebenheiten angewendet. Aufgrund dieses einzigartigen Konzepts wird dem Leser ein Verständnis der Methoden – die sonst häufig unverständlich bleiben – ermöglicht.
Aufbauend auf einer Einführung in die Laplace-Transformation wird deren Anwendung auf gewöhnliche Differenzial-, Differenzen- und Differenzendifferenzialgleichungen gezeigt. Nach der Erarbeitung der Rechenregeln und Korrespondenzen folgt der Bezug auf das Übertragungsverhalten dynamischer Systeme. Über die Funktionentheorie, die komplexe Umkehrformel und die Anwendung auf partielle Differenzialgleichungen wird dann in die Fourier-Transformation eingeführt. Abtasttheorem, Hilbert- und z-Transformation beschließen die Darstellung.
Zahlreiche Grafiken, Tabellen und Beispiele veranschaulichen und vertiefen den Stoff. 45 Übungsaufgaben mit ausführlicher Darstellung des Lösungswegs ermöglichen die Erprobung des gelernten Wissens.
Damit wird dem zukünftigen Ingenieur und auch dem Praktiker quasi aller Branchen ein leistungsfähiges, unverzichtbares mathematisches Werkzeug an die Hand gegeben. Einzigartig behandelt dieses ausgereifte Lehrbuch alle drei Methoden der Transformation ohne Beschränkung auf elementare Anwendungen und macht die abstrakten Rechenregeln dabei verständlich. Es liegt somit ein wirklich umfassendes Buch der Transformationsmethoden vor, welches die Zusammenhänge auf verständliche Weise herausstellt und so das Verbindende der Systemtheorie, Regelungstechnik und Nachrichtentechnik betont.
Aufbauend auf einer Einführung in die Laplace-Transformation wird deren Anwendung auf gewöhnliche Differenzial-, Differenzen- und Differenzendifferenzialgleichungen gezeigt. Nach der Erarbeitung der Rechenregeln und Korrespondenzen folgt der Bezug auf das Übertragungsverhalten dynamischer Systeme. Über die Funktionentheorie, die komplexe Umkehrformel und die Anwendung auf partielle Differenzialgleichungen wird dann in die Fourier-Transformation eingeführt. Abtasttheorem, Hilbert- und z-Transformation beschließen die Darstellung.
Zahlreiche Grafiken, Tabellen und Beispiele veranschaulichen und vertiefen den Stoff. 45 Übungsaufgaben mit ausführlicher Darstellung des Lösungswegs ermöglichen die Erprobung des gelernten Wissens.
Damit wird dem zukünftigen Ingenieur und auch dem Praktiker quasi aller Branchen ein leistungsfähiges, unverzichtbares mathematisches Werkzeug an die Hand gegeben. Einzigartig behandelt dieses ausgereifte Lehrbuch alle drei Methoden der Transformation ohne Beschränkung auf elementare Anwendungen und macht die abstrakten Rechenregeln dabei verständlich. Es liegt somit ein wirklich umfassendes Buch der Transformationsmethoden vor, welches die Zusammenhänge auf verständliche Weise herausstellt und so das Verbindende der Systemtheorie, Regelungstechnik und Nachrichtentechnik betont.
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
- Laplace-, Fourier- und z-Transformation
- Ihre Meinung zählt!
- Impressum
- Vorwort des Bearbeiters
- Vorwort zur 7. Auflage
- 1 Ziel des Buchs
- 2 Methode des Buchs
- 3 Voraussetzungen
- 4 Zum Inhalt des Buchs
- 5 Interessentenkreis
- Kapitelübersicht
- Zusammenstellung einiger Rechenausdrücke, die im Folgenden öfters benutzt werden
- Inhalt
- 1 Einführung der Laplace-Transformation
- 2 Anwendung der Laplace-Transformation auf gewöhnliche Differenzialgleichungen
- 2.1 Häufig auftretender Typ von Differenzialgleichungen
- 2.2 Differenziationsregel für die Originalfunktion
- 2.3 Rechnen mit δ-Funktionen
- 2.4 Laplace-Transformation einer linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- 2.5 Erinnerung an die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen
- 2.6 Rücktransformation der Partialbrüche mittels Integrations- und Dämpfungsregel der Laplace-Transformation
- 2.7 Lösung einer Differenzialgleichung 3. Ordnung
- 2.8 Sprungantwort einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung bei einfachen und von Null verschiedenen Polen
- 2.9 Sprungantwort einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung beim Auftreten mehrfacher Pole
- 2.10 Sprungantwort einer Differenzialgleichung 2. Ordnung
- 2.11 Faltungsregel der Laplace-Transformation
- 2.12 Zusammenfassung über die Lösung der Differenzialgleichung n-ter Ordnung
- 2.13 Grenzwertsätze der Laplace-Transformation und ihre Anwendung auf Differenzialgleichungen
- 2.14 Systeme von Differenzialgleichungen
- 3 Lösung von Differenzengleichungen mit der Laplace-Transformation
- 3.1 Auftreten und Form von Differenzengleichungen
- 3.2 Verschiebungsregeln der Laplace-Transformation
- 3.3 Lösung der Differenzengleichung 1. Ordnung mit Vorgeschichte
- 3.4 Rücktransformation einer rationalenFunktion von e "hoch"–Ts
- 3.5 Lösung der allgemeinen Differenzengleichung ohne Vorgeschichte
- 4 Lösung von Differenzendifferenzialgleichungen mit der Laplace-Transformation
- 4.1 Auftreten von Differenzendifferenzialgleichungen: Totzeitsysteme
- 4.2 Bestimmung der Ausgangsgröße eines Totzeitsystems durch Laplace-Transformation
- 5 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen der Laplace-Transformation
- 6 Laplace-Transformation und Übertragungsverhalten dynamischer Systeme
- 6.1 Allgemeiner Begriff des Übertragungsglieds
- 6.2 Übertragungsfunktion
- 6.3 Gewichtsfunktion (Impulsantwort)
- 6.4 Charakterisierung der Übertragungsglieder mit Y(s) = G(s)U(s)
- 6.5 Frequenzgang
- 6.6 Zwei Aspekte der Laplace-Transformation
- 7 Etwas Funktionentheorie
- 7.1 Laurententwicklung
- 7.2 Residuum und Residuensatz
- 7.3 Laurententwicklung und Partialbruchzerlegung
- 7.4 Zwei Beispiele zur Partialbruchentwicklung einer meromorphen Funktion
- 8 Komplexe Umkehrformel der Laplace-Transformation
- 8.1 Herleitung der komplexen Umkehrformel
- 8.2 Herleitung der Multiplikationsregel für Zeitfunktionen
- 8.3 Berechnung des Umkehrintegrals mittels des Residuensatzes
- 8.4 Berechnung der Originalfunktion zu e "hoch"–z"Wurzel"s
- 9 Anwendung der Laplace-Transformation auf partielle Differenzialgleichungen
- 9.1 Prinzipielles Vorgehen
- 9.2 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Randbedingungen
- 9.3 Spezialfall: Randwertproblem beim einseitig begrenzten Wärmeleiter
- 9.4 Eine andere Darstellung der Gewichtsfunktion
- 9.5 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Quellenfunktion
- 9.6 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Anfangsbedingung und allgemeine Lösung
- 10 Zweiseitige Laplace-Transformation und Fourier-Transformation
- 10.1 Zweiseitige Laplace-Transformation
- 10.2 Definition der Fourier-Transformation
- 10.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation
- 10.4 Rechenregeln der Fourier-Transformation
- 10.5 Korrespondenzen der Fourier-Transformation
- 10.6 Tabellen zur Fourier-Transformation
- 11 Fourier-Transformation von Funktionen endlicher Breite und Abtasttheoreme
- 11.1 Komplexe Darstellung der Fourierreihe einer periodischen Funktion
- 11.2 Reihenentwicklung einer Zeitfunktion mit endlicher Bandbreite
- 11.3 Reihenentwicklung einer Spektraldichte zu einer Zeitfunktion von endlicher Dauer
- 12 Fourier-Transformation kausaler Funktionen und Hilbert-Transformation
- 13 z-Transformation
- 13.1 Definition der z-Transformation und ihr Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
- 13.2 Einige Beispiele
- 13.3 Durchführbarkeit der z-Transformation
- 13.4 Dämpfungsregel und Differenziationsregel für die Bildfunktion
- 13.5 Anwendung der Dämpfungsregel und der Differenziationsregel für die Bildfunktion: z-Transformation rationaler Funktionen von s
- 13.6 Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen F(s) und Fz (z)
- 13.7 Verschiebungsregeln der z-Transformation
- 13.8 Anwendung der Verschiebungsregeln der z-Transformation auf Differenzengleichungen für Zahlenfolgen
- 13.9 Rücktransformation einer rationalen Funktion Gz(z)
- 13.10 Die Faltungsregel der z-Transformation
- 13.11 Grenzwertsätze der z-Transformation
- 13.12 Rücktransformation (Umkehrung der z-Transformation)
- 13.13 Anwendung der z-Transformation auf dynamische Systeme
- 13.14 Zusammenstellung der Rechenregeln und Korrespondenzen der z-Transformation
- Übungsaufgaben
- Aufgabe 1
- Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Aufgabe 4
- Aufgabe 5
- Aufgabe 6
- Aufgabe 7
- Aufgabe 8
- Aufgabe 9
- Aufgabe 10
- Aufgabe 11
- Aufgabe 12
- Aufgabe 13
- Aufgabe 14
- Aufgabe 15
- Aufgabe 16
- Aufgabe 17
- Aufgabe 18
- Aufgabe 19
- Aufgabe 20
- Aufgabe 21
- Aufgabe 22
- Aufgabe 23
- Aufgabe 24
- Aufgabe 25
- Aufgabe 26
- Aufgabe 27
- Aufgabe 28
- Aufgabe 29
- Aufgabe 30
- Aufgabe 31
- Aufgabe 32
- Aufgabe 33
- Aufgabe 34
- Aufgabe 35
- Aufgabe 36
- Aufgabe 37
- Aufgabe 38
- Aufgabe 39
- Aufgabe 40
- Aufgabe 41
- Aufgabe 42
- Aufgabe 43
- Aufgabe 44
- Aufgabe 45
- Lösungen der Übungsaufgaben
- Lösung von Aufgabe 1
- Lösung von Aufgabe 2
- Lösung von Aufgabe 3
- Lösung von Aufgabe 4
- Lösung von Aufgabe 5
- Lösung von Aufgabe 6
- Lösung von Aufgabe 7
- Lösung von Aufgabe 8
- Lösung von Aufgabe 9
- Lösung von Aufgabe 10
- Lösung von Aufgabe 11
- Lösung von Aufgabe 12
- Lösung von Aufgabe 13
- Lösung von Aufgabe 14
- Lösung von Aufgabe 15
- Lösung von Aufgabe 16
- Lösung von Aufgabe 17
- Lösung von Aufgabe 18
- Lösung von Aufgabe 19
- Lösung von Aufgabe 20
- Lösung von Aufgabe 21
- Lösung von Aufgabe 22
- Lösung von Aufgabe 23
- Lösung von Aufgabe 24
- Lösung von Aufgabe 25
- Lösung von Aufgabe 26
- Lösung von Aufgabe 27
- Lösung von Aufgabe 28
- Lösung von Aufgabe 29
- Lösung von Aufgabe 30
- Lösung von Aufgabe 31
- Lösung von Aufgabe 32
- Lösung von Aufgabe 33
- Lösung von Aufgabe 34
- Lösung von Aufgabe 35
- Lösung von Aufgabe 36
- Lösung von Aufgabe 37
- Lösung von Aufgabe 38
- Lösung von Aufgabe 39
- Lösung von Aufgabe 40
- Lösung von Aufgabe 41
- Lösung von Aufgabe 42
- Lösung von Aufgabe 43
- Lösung von Aufgabe 44
- Lösung von Aufgabe 45
- Literaturverzeichnis
- Laplace-Transformation
- Tabellen zur Laplace-Transformation
- Fourier-Transformation
- Tabellen zur Fourier-Transformation
- z-Transformation
- Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen)
- Funktionentheorie
- Differenzialgleichungen
- Mathematische Nachschlagewerke
- Systemtheorie
- Sachwörterverzeichnis
- Zum Autor