Multiplikative Euklidische Vektorräume als Grundlage für das Rechnen mit positiv-reellen Größen
Björn Friedrich
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Björn Friedrich, Multiplikative Euklidische Vektorräume als Grundlage für das Rechnen mit positiv-reellen Größen (2019), Logos Verlag, Berlin, ISBN: 9783832588991
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Beschreibung / Abstract
Vektorräume dienen als Anschauungsraum für viele Aspekte unserer Wirklichkeit. Während additive Ausprägungen abstrakter Vektorräume zum Curriculum der mathematischen Ausbildung gehören, sind nicht-additive Ausprägungen eher unbekannt. Dabei könnten die in bestimmten Fällen angemessenere Anschauungsräume bilden.
Die vorliegende Arbeit orientiert sich an der Leitfrage, welche Konsequenzen sich ergeben, wenn man die positiv-reellen Zahlen als einen eigenständigen multiplikativen Euklidischen Vektorraum auffasst (multiplikative Perspektive), statt nur als eine Teilmenge der positiven Elemente des additiven Euklidischen Vektorraums der reellen Zahlen (additive Perspektive).
Der Autor belegt zunächst anhand verschiedener Beispiele und bekannter statistischer Paradoxa, dass ein Perspektivenwechsel zu weitreichenden theoretischen und praktischen Konsequenzen führen kann.
Danach widmet er sich positiv-reellen Größen, die als Reizmerkmale in der Psychophysik auftreten. Im Zentrum steht ein Gedankenexperiment, dessen Erkenntnisse viele namhafte perzeptive Illusionen infrage stellen, die mit konventionellen psychophysikalischen Maßen charakterisiert wurden. Neue Maße, die auf multiplikativen Euklidischen Vektorräumen beruhen, könnten zu anderen Ergebnissen führen. Dies wird durch empirische Daten zur Angleichung von Onsetdauern akustischer Reize gestützt: Mithilfe der neuen Maße lassen sich Einflüsse von Reizparametern feststellen, die mit konventionellen Maßen unentdeckt blieben.
Die vorliegende Arbeit orientiert sich an der Leitfrage, welche Konsequenzen sich ergeben, wenn man die positiv-reellen Zahlen als einen eigenständigen multiplikativen Euklidischen Vektorraum auffasst (multiplikative Perspektive), statt nur als eine Teilmenge der positiven Elemente des additiven Euklidischen Vektorraums der reellen Zahlen (additive Perspektive).
Der Autor belegt zunächst anhand verschiedener Beispiele und bekannter statistischer Paradoxa, dass ein Perspektivenwechsel zu weitreichenden theoretischen und praktischen Konsequenzen führen kann.
Danach widmet er sich positiv-reellen Größen, die als Reizmerkmale in der Psychophysik auftreten. Im Zentrum steht ein Gedankenexperiment, dessen Erkenntnisse viele namhafte perzeptive Illusionen infrage stellen, die mit konventionellen psychophysikalischen Maßen charakterisiert wurden. Neue Maße, die auf multiplikativen Euklidischen Vektorräumen beruhen, könnten zu anderen Ergebnissen führen. Dies wird durch empirische Daten zur Angleichung von Onsetdauern akustischer Reize gestützt: Mithilfe der neuen Maße lassen sich Einflüsse von Reizparametern feststellen, die mit konventionellen Maßen unentdeckt blieben.
Inhaltsverzeichnis
- BEGINN
- Zusammenfassung
- Abstract
- Danksagung
- Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 1.1 Problemstellung und Leitfrage
- 1.2 Gliederung der Arbeit
- 2 Mathematische Grundlagen
- 2.1 Grundlegendes zu Notation und Terminologie
- 2.2 Algebraische Strukturen
- 2.3 Abbildungen zwischen Vektorräumen
- 2.4 Resümee
- 3 Multiplikative Vektorräume – einige Konsequenzen
- 3.1 Kartesische Koordinatensysteme
- 3.2 Differentialrechnung
- 3.3 Statistik
- 4 Gedankenexperimente und Paradoxa
- 4.1 Das Briefumschlagparadoxon
- 4.2 Das Sankt-Petersburg-Paradoxon
- 4.3 Das Siegel†™sche Paradoxon
- 4.4 Der „Durchschnittswürfel“
- 4.5 Das Dichte–Volumen-Paradoxon
- 4.6 Das Paradoxon der prozentualen Unterschiede
- 4.7 Resümee
- 5 Konsequenzen für psychophysikalische Maße der Genauigkeit und Präzision
- 5.1 Genauigkeit und Präzision im Justier- und im Konstanzverfahren
- 5.2 Ein Gedankenexperiment
- 5.3 Konsequenzen für bekannte Illusionen
- 5.4 Abschließende Betrachtungen
- 6 Psychoakustische Experimente zur Angleichung von Onsetdauern
- 6.1 Psychophysik der Onsetdauer-Wahrnehmung
- 6.2 Methoden
- 6.3 Ergebnisse
- 6.4 Resümee und Diskussion
- 7 Schlussbetrachtungen und Ausblick
- Abbildungsverzeichnis I