Entwurf invarianter Folgeregler für Systeme mit Lie-Symmetrien
Carsten Collon
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Carsten Collon, Entwurf invarianter Folgeregler für Systeme mit Lie-Symmetrien (2012), Logos Verlag, Berlin, ISBN: 9783832598631
Beschreibung / Abstract
Beim Entwurf von Folgeregelungen für nichtlineare Systeme ist das Verständnis struktureller Eigenschaften des aus einer Modellbildung hervorgegangenen Differentialgleichungssystems eine wichtige Voraussetzung, um Regelungsaufgaben erfolgreich lösen zu können. Eine wesentliche strukturelle Eigenschaft ist die Existenz von Symmetrien, d. h. Abbildungen, die Lösungen auf andere Lösungen abbilden. Während gängige Entwurfsverfahren zwar besonders günstige Systemdarstellungen in speziellen Koordinatensystemen nutzen, um das Entwurfsproblem zu vereinfachen, werden bestehende Symmetrien in der Regel nicht explizit berücksichtigt, so daß Symmetrien unter Anwendung eines entworfenen Regelgesetzes verloren gehen können. Diese Beobachtung motiviert den Entwurf sogenannter invarianter Folgeregler, die verträglich mit relevanten Symmetrieeigenschaften des Regelungsproblems sind. Die vorliegende Arbeit widmet sich der Untersuchung von klassischen Symmetrien nichtlinearer Systeme, der Diskussion der als solche in Frage kommenden Klasse von Transformationen, sowie der Übertragung des invarianten Entwurfsansatzes auf bekannte Entwurfsverfahren.
Inhaltsverzeichnis
- BEGINN
- 1 Einleitung
- 1.1 Ein kinematisches Fahrzeug
- 1.2 Modell eines Hochsetzstellers (boost converter)
- 1.3 Einordnung und Zielstellung der Arbeit
- 1.4 Gliederung der Arbeit
- 2 Begriffe aus der Differentialgeometrie
- 2.1 Glatte Mannigfaltigkeiten
- 2.2 Vektorfelder und Linearformen
- 2.3 Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten
- 2.4 Untermannigfaltigkeiten
- 2.5 Glatte Distributionen und Kodistributionen
- 2.6 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
- 2.7 Gefaserte Mannigfaltigkeit, Bündel, Jets
- 3 Geometrischer Zugang zu Symmetrien gewöhnlicher Differentialgleichungen
- 3.1 Ein einfaches Beispiel
- 3.2 Differentialgleichungssystem als (Teil-)Mannigfaltigkeit
- 3.3 Klassische Symmetrien gewöhnlicher Differentialgleichungen
- 3.4 Unterbestimmte Differentialgleichungen
- 3.5 Prolongierte Differentialgleichung und Diffietät
- 3.6 Verallgemeinerte Symmetrien
- 3.7 Anmerkungen zur Literatur
- 4 Lie-Gruppen, Invarianten und Lie-Symmetrien
- 4.1 Lie-Gruppen
- 4.2 Invarianten von Transformationsgruppen und ihre Berechnung
- 4.3 Konstruktive Berechnung von Invarianten: Normalisierungsalgorithmus
- 4.4 Lie-Symmetrien von Differentialgleichungen
- 5 Struktur von Systemen in Zustandsdarstellungen mit Lie-Symmetrien
- 5.1 Lokale Struktur von Systemen mit Zustandssymmetrie
- 5.2 Struktur der Zustandsdarstellung bei Lie-Symmetrie mit Wirkung auf den Eingang
- 5.3 Übergang zu einer reduzierten Zustandsdarstellung
- 6 Entwurf invarianter Folgeregler
- 6.1 G-Invarianz, G-verträglicher Ausgang, G-invarianter Ausgangsfehler
- 6.2 Entwurf invarianter Folgeregler mittels Eingangs-Ausgangs-Linearisierung für Systeme mit wohldefinierten relativen Grad
- 6.3 Entwurf invarianter Rückführungen durch sukzessive Berücksichtigung von Integratoren („integrator backstepping“)
- 6.4 Regler mit Gleitregime („sliding mode“)
- 6.5 Symmetrie durch Rückführung
- 6.6 Differentiell flache Systeme
- 6.7 Invariante Zustandsschätzung
- 7 Anwendung von Symmetrien für den Reglerentwurf am Beispiel
- 7.1 Invariante Folgeregelung für das kinematische Fahrzeug
- 7.2 Reglerentwurf für einen Bioreaktor
- 8 Zusammenfassung